Bien raisonner en mathématiques

par/ RABEI HARKAT

Bien raisonner en mathématiques

Que des problèmes ?

« En combien de temps peut-on remplir un bassin rectangulaire de 60 m de long, 20 m de large et 5 m de profondeur à partir d’un tuyau dont le débit moyen est de 0,5 m3/min ? », « Soit deux villes distantes de 1000 km, reliées par une double voie de chemin de fer; deux trains roulant à 100 km/h quittent chacune des deux villes en direction de l’autre à 14h00. À quelle heure se croisent- ils ? », « Jean a quatre fois l’âge que Paul avait lorsque Jean avait l’âge actuel de Paul. Jean a 40 ans. Quel âge a Paul ? ». Ces énoncés légendaires, véritables casse-têtes, ont donné bien des sueurs froides à nos grands-parents qui ont vaillamment planché dessus. Et aujourd’hui encore, bien que moins tortueux, plus abordables, réactualisés (robinets et locomotives remplacés par ordinateurs et navettes spatiales), les fameux problèmes restent de mise au primaire.

© Anne BERVILLER alias Ane pô 2 banane.

Les écoliers sont systématiquement obligés d’additionner, de soustraire, de multiplier, de diviser ou de convertir pour trouver le prix d’un objet, le poids d’une personne, le montant d’une remise sur un achat, la longueur de clôture nécessaire pour fermer un jardin… Il s’agit de les plonger dans des situations concrètes afin de dépasser l’abstraction que représentent les nombres, les signes, les unités de mesure ainsi que les figures géométriques. L’initiation au calcul commence d’ailleurs par là: manipulation de billes pour compter, réalisation de paquets de bâtons pour aborder les dizaines, coloriage de carreaux pour se familiariser avec les surfaces.

Ainsi l’algèbre, l’arithmétique, la géométrie s’apprennent tant par les notions (tables, opérations, définitions) que les expériences (comparaison, application, déduction). Les enfants vont et viennent indifféremment entre égalités et questions, puisque 3 + 2 = 5 signifie la même chose que « Combien ai-je de bonbons si maman m’en donne 3 et papa 2 ? ». Loin d’être innée, cette démarche croisée se révèle difficile à appréhender. Elle nécessite non seulement d’avoir assimilé les concepts mais aussi d’avancer avec logique.

Nombre d’élèves mélangent malheureusement masses et volumes, appliquent les formules au hasard, s’efforcent de caser toutes les indications sans distinguer l’utile de l’inutile… Ne parvenant ni à trier, ni à ordonner, ils raisonnent mal et se trompent. Or, il suffit de quelques acquis, de beaucoup d’ordre et d’un peu d’entraînement pour résoudre ces petites énigmes toutes bêtes. Les solutions demeurent à la portée de tous : c’est mathématique !
Des connaissances

Un problème fonctionne comme un code à décrypter. Pour ce faire, il faut connaître tous les langages appropriés: d’abord celui des nombres, ensuite celui des formulations. Inutile de se lancer avant de savoir parfaitement compter, autrement dit connaître ses opérations sur le bout des doigts :

additions au CP,
additions et soustractions au CE1,
additions, soustractions, multiplications au CE2,
additions, soustractions, multiplications, divisions aux CM1-CM2.

Tables, lignes, colonnes, retenues, règles pratiques (ajout d’un zéro ou déplacement de la virgule à droite quand on multiplie par 10, multiplier par 0,5 revient à diviser par 2…), constituent un bagage indispensable dont la calculatrice ne dispense pas. Les enfants ont intérêt à y recourir le moins possible dans les premières années de leur scolarité. Qu’ils se familiarisent simplement avec les touches, aient une idée de son fonctionnement et de son intérêt (pour les nombres longs et difficiles exclusivement), mais qu’ils n’en profitent ni pour se passer de la mémorisation par coeur, ni pour renoncer au calcul mental. Car il convient d’être capable de cerner le procédé à appliquer (une ou plusieurs opérations, tableau de proportionnalité…) voire la réponse (ordre de grandeur, unité…) dès la lecture du sujet. Donner du sens à des problèmes revient à donner du sens aux chiffres ainsi qu’à leur maniement : l’un ne va pas sans l’autre.
D’où l’importance de posséder, outre les bases des maths, les bases de langue. La majorité des enseignants souligne en effet que les difficultés en calcul paraissent liées à des lacunes en vocabulaire – au primaire comme au collège !

Il faut donc savoir lire et interpréter, repérer les termes importants, le travail attendu… Guère compliqué puisque ce sont bien souvent les mêmes demandes qui reviennent : « Combien a-ton dépensé ? », « Combien reste-t-il ? », « Y a-t-il assez de ? », « Quelle distance a-t-on parcouru ? », « Quelle est l’aire de ? ». Idem pour les tâches à effectuer : « Trouve », « Classe », « Résous », « Calcule ». Par conséquent, les procédés de résolution se mettent en place naturellement puisqu’ils sont contenus dans les données des exercices : la réponse est toujours à portée de lecture ! Mieux vaut alors commencer par bien décortiquer les énoncés…
De la méthode

…Étape fondamentale et obligatoire à respecter pour espérer aboutir à la bonne réponse. La plupart des fautes, en dehors des étourderies classiques (oubli d’une retenue, confusion d’unités, erreur de frappe sur la calculette), viennent d’une mauvaise interprétation des sujets.

D’un côté, trop d’écoliers ne s’attachent pas à saisir ce qui leur est vraiment demandé; ils se précipitent pour effectuer une opération, de préférence celle qu’ils sont en train d’étudier en cours (esprit d’à propos fort louable quoique pas forcément pertinent…) De l’autre, ils partent du principe que si on leur donne des informations, elles sont toutes utiles. Pour preuve, face à ce problème « Luc et Valérie vont au cinéma. Un billet coûte 6 euros et le film dure 2 heures. Quelle somme paient-ils ? », les 25 petits d’une classe de CE2 ont répondu comme suit : 12 euros pour 4 élèves (6 + 6), 14 euros pour 16 élèves (6 + 6 + 2), 10 euros pour 5 élèves (6 + 6 – 2). Justification avancée par ceux qui ont ajouté ou retranché les 2 heures au prix des billets : « Il fallait bien faire quelque chose avec ! ».

Par conséquent, l’apprentissage de la lecture des énoncés s’impose. Elle consiste en une analyse critique qui inclut :

l’identification précise de la question : que dois-je répondre à la fin ?
une vraie prise de recul : à quoi me sert l’énoncé ?
la sélection des éléments : de quoi ai-je vraiment besoin ?

Une fois ce travail effectué, le raisonnement va de soi. Il s’agit de relier ensemble les éléments sélectionnés par l’intermédiaire d’une ou de plusieurs opérations, soit directement, soit après quelques ajustements (mesure manquante à déduire, conversion d’heures en minutes…)

La rigueur est primordiale ici : impossible d’additionner ou de soustraire des kg et des litres, d’obtenir une somme de pourcentages supérieure à 100%, de tomber sur un périmètre de rectangle inférieur à sa longueur, de trouver des prix négatifs ou des âges dépassant les 100 ans… Ces incohérences perturbent rarement les jeunes qui ne vérifient jamais d’emblée leurs résultats, pas plus qu’ils ne pensent à indiquer les unités, balançant des chiffres en vrac. Ils ont tort et perdent souvent des points à cause de leur nonchalance, de leur relâchement en rédaction. Eh oui : une dépense s’exprime en euros, une distance en mètres, une masse en grammes…

Au total, pas besoin d’avoir la bosse des maths pour s’en sortir avec les problèmes d’école. Cela relève largement plus de la concentration, de la maîtrise de l’expression langagière et du bon sens que de la pure logique scientifique. Reste encore à jouer le jeu !
De la pratique

Aucun matière :

Il faut constamment faire travailler ses méninges, mobiliser ses petites cellules grises. Dès le CE1, il se révèle judicieux de proposer un court problème chaque soir, histoire de réviser les opérations, d’éviter de se rouiller, d’entretenir les automatismes. À la maison, au calme, on prend le temps de s’habituer aux règles de base – même si la maîtresse n’en demande pas autant en classe : écrire dans un cahier réservé secret en la  à cet usage (pas de feuille volante gribouillée), recopier l’énoncé en soulignant les informations indispensables et barrant les superflues, dessiner un schéma au besoin, noter le raisonnement à droite en rédigeant une phrase expliquant le calcul, poser les opérations à gauche avec un chiffre par carreau, conclure en reprenant la question de départ, sans oublier les unités. Voir ci-contre l’exemple « le bus ».
et entretien, un peu fastidieux au départ, rassure les enfants à la longue. Ils découvrent vite qu’à partir du moment où ils ont résolu un problème, ils résoudront ceux du même type. Pas la peine dans ces conditions de choisir des exercices complexes. Commencer avec des questions élémentaires très simples permet aux jeunes de se sentir en position de force (« j’ai réussi ! »); ils évolueront d’eux-mêmes vers des sujets plus difficiles, quitte parfois à y prendre goût et se lancer de véritables défis !
( Toutes les approches pédagogiques peuvent s'inspirer, questions de reformulations d’énoncés et d'adaptation )